无穷级数 #
常数项级数的概念和性质 #
无穷级数的发散和收敛类似反常积分发散收敛的概念
调和级数: $\frac{1}{n}$ 是发散的(可以和 n/2 比较证明)
p 级数: $(\frac{1}{n})^p$, p >= 1 收敛, p < 1
级数收敛, 通项必然趋于 0
正项级数判敛法 #
比较法 #
比较审敛法的一般形式, 注意要求正项(可利用单调有界原则证明):
比较审敛法的极限形式: $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infin}\frac{a_n}{b_n} = l$
- 若 l = C 且不等于 0, 则二者同敛散(缩放法证明)
- 若 l = 0, 则 $a_n \llless b_n$
- $b_n$ 收敛则 $a_n$ 收敛
- $a_n$ 发散则 $b_n$ 发散
- 若 $l = \infin$, 则 $a_n \gggtr b_n$
- $b_n$ 发散则 $a_n$ 发散
- $a_n$ 收敛则 $b_n$ 收敛
因此，找到同阶无穷小(优先$(\frac{1}{n})^p$)对该方法很重要
例题:
比值/根植审敛法 #
比值判别法(适合类等比):
比值审敛法例题:
根值审敛法-柯西判别法(适合n次方):
根值审敛法例题:
积分审敛法(正项级数) #
反常积分收敛则级数收敛:
反常积分发散则级数发散:
例题:
总结 #
任意项级数的审敛法 #
交错级数的审敛法-莱布尼茨审敛法 #
莱布尼茨审敛法(仅适用与交错级数):
遇到: $a_{2n}$ 时, 可以考虑构造交错级数化简
绝对收敛/条件收敛 #
绝对收敛/条件收敛的定义:
例题-常规判定:
例题-按顺序依次判定(是否绝对 => 是否条件(正项/交错)):
幂级数 #
之前讨论的都是收敛性, 但没有讨论过收敛于何处
(幂级数)收敛半径 #
(-R, R) 内绝对收敛, 两端点特殊讨论, 其外发散
如何计算收敛半径和收敛域:
等比数列求和(注意和函数极限的收敛域):
幂函数求和方法: 同时求导/积分(不改变收敛半径, 并不是不改变收敛域), 变成等比级数, 求和函数
注意: 求导后的积分区间统一为 0 - x
做题可以首先把前面几项写出来观察一下
函数项级数 #
例题1-先求导再积分:
例题2-先积分再求导:
例题3-凑(0点是否讨论后续可参考阿贝尔定理)：
例题4-拆(上大下小, 可考虑因式分解):
例题5-多次求导/积分(n * (n + 1) 型):
数项级数求和 #
本质上函数项级数求和的应用, 常见的函数项级数应该记住
例题1-利用已知函数项级数换元构造新的幂级数
例题2-凑+换元
例题3
微分方程求级数和 #
例题1-求导后构造微分方程(也可尝试原函数和一阶导相加构造)
例题2-原函数和导数构造新的函数(也可三阶导构造微分方程)
幂级数展开 #
将 fx 展开为 x 的幂级数即转换为 $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infin}a_nx^n$ 的形式
核心思路: 利用现有的麦克劳林公式(泰勒在0点展开)
例题1(1):
例题1(2)-相比泰勒公式, 我们优先换元凑麦克劳林公式更简单:
泰勒级数 #
$f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n$
$x_0$ = 0 时, 称为麦克老林展开
傅里叶级数 #
ref
例如 $e^x$ 的泰勒展开中带有周期性的性质很难表达, 因而有傅里叶级数
三角函数系及其正交性 #
三角函数系: {1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, … , cosnx, sinnx}
三角函数系的正交性(正交即向量点乘(内积)为 0):
系数 $a_n$ 和 $b_n$ 的推导 #
$a_0$ 的推导:
$a_n$ 和 $b_n$ 的推导, 两边同乘 coskx:
$f(x)coskx = \frac{a_0}{2}coskx + \displaystyle \sum_{n=1}^{\infin}(a_ncoskxcosnx + b_nsinnxcoskx)$
同时在 $[-\pi, \pi]$ 上积分:
最终解得 $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx$
故而 $a_0$ 也能合入 $a_n$
对应的, 若周期为 2l, $a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cosnxdx$
同理两边同乘 sinkx 得到:$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx$
狄利克雷收敛定理 #
傅里叶级数是似拟合, 对与周期的端点, 应用其左极限和右极限的平均值作为拟合值
正弦级数和余弦级数 #
f(x) 周期为 2l, f(x) 为奇函数, f(x)的傅里叶级数只含正弦项, 称为正弦级数:
$$
f(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infin}b_nsin(\frac{n\pi x}{l}) \newline
其中: b_n = \frac{2}{l}\int_0^lf(x)sin(\frac{n\pi x}{l})dx
$$
f(x) 为偶函数, f(x)只含常数项和余弦项, 称为余弦级数
$f(x) = \frac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n=1}^{\infin}a_ncos(\frac{n\pi x}{l}) \newline 其中: a_n = \frac{2}{l}\int_0^lf(x)cos(\frac{n\pi x}{l})dx$
待整理 #
收敛域考虑左右端点, 收敛区间不考虑
级数展开技巧:
- 提出固定项: $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n} = 1 + \sum_{n=1}^{\infin}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n}$
- 提入固定项: $x^2 \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n} = \sum_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+2}$
- 令 n = n-1, 初始值+1: $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+2} = - \sum_{n=0}^{\infin}\frac{(-1)^n}{2n-1}x^{2n}$
形如 $ln(2+x)$ 可以展开为:
- $ln(1 + (1+x))$
- $ln(2(1 + \frac{x}{2})) = ln2 + ln(1+ \frac{x}{2})$
在级数的场景里, 我们应优先化为第二种, 更符合多项式的场景(ln2新增一项), 也更简单