高等数学-Ch4-不定积分

不定积分(anti-derivative反导数)

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如函数 $f(x) = x^2$ 为其导数 $f^{’}(x) = 2x$ 的某一个原函数
而 $f(x) = x^2 + C$ 为导数的全体原函数, 也称为 2x 的不定积分, 记作:
$\int f(x)dx = F(x) + C$
$\int 被积函数(变量)d变量 = 被积表达式 = 原式的不定积分$

换元积分

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第一类换元法(被积项转换形式)

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第二类换元法(自变量转换形式)

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$\int xlnx = \frac{x^2lnx}{2} - \frac{x^2}{4}$

内容小结:

P207: 2(双号小题)

分部积分

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设 $u(x), v(x)$ 有连续一阶导数, 则:

$\int udv = uv - \int vdu$

例子:

1. $\int x(e^x)dx = \int xde^x = xe^x - \int e^xdx$
2. $\int xsinxdx = -\int xdcosx = -(xcosx - \int cosxdx)$
3. $\int xlnxdx = \frac{1}{2}\int lnxdx^2 = \frac{1}{2}[x^2lnx - \int xdx]$

• ln 不好凑, 凑 $\rm dlnx = \frac{1}{x}\rm dx$

4. $\int xarctanxdx$
5. $\int (e^x)sinxdx$(两次分步积分后还原)
6. $\int sec^3xdx$

适用场景:

1. 何时用: 适用两类不同函数相乘
2. 如何用: vdu 比 udv 好用

P212: 双号小题