高等数学-Ch7-多元函数微分法及其应用

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多元函数微分法及其应用
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善于类比:

形式:
一元函数: y = f(x)
多元函数: z = f(x, y)

图形:
一元函数: 线
多元函数面

邻域(都是定义在去心临域的):
一元函数: 直线
多(二)元函数: 圆

极限: 可选择某一个方向(y = kx) 证明极限不存在, 或者夹逼定理求极限
求连续性: 注意初等函数在其定义域都是连续的, 某点极限等于该点函数值

偏导数
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多元函数中某一个自变量改变的导数,对应偏增量, 例如: z= f(x, y) x 变, y 不变(两者都变叫方向导数, 对应全增量)

几何意义对应: y 固定时(截面)的相交线在 x => x0 的切线

可偏导未必连续: f(x, y) = 1, 定义域: xy = 0;
连续未必可偏导: z = |x|

高阶偏导数
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按照变量求导次序不同有不同的高阶偏导数
分别对不同变量求导称为混合偏导数, 如果混合偏导数连续那么其值与求导次序无关

全微分
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可微定义:

一元函数可微: $\Delta{y} = A\Delta{x} + o(\Delta{x})$, $A = f^{’}(x)$

多元函数可微:
对 z = f(x, y) 若全增量:
$\Delta{z} = f(x_0 +\Delta{x}, y_0 + \Delta{y}) - f(x_0, y_0)$
与自变量增量 $\Delta{x}, \Delta{y}$ 有关系:
$\Delta{z} = A\Delta{x} + B\Delta{y} + o(\sqrt{\Delta{x}^2 + \Delta{y}^2})$ ($A=F_x, B = F_y$)
则称 z 在 $f(x_0, y_0)$ 处可微:

可微必连续(必要条件)
可微必可偏导(必要条件)
偏导数连续则可微(充分条件，平面光滑)

内容小结: