高等数学-Ch8-重积分

重积分

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一种区间是一条线再积分区间的叠加区间, 所以几何意义是面积
二重积分是面, 对应体积
三重积分是体积, 对应质量或其它体积上附着的属性

直角坐标系转换为其他坐标系的核心问题:

1. xyz 在新的坐标系中如何表达
2. 对应的面积/体积微分表达式

二重积分

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积分求面积，二重积分可用来求体积

二重积分的计算法

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核心思想: 转换为定积分计算(新问题换为老问题)

直角坐标计算二重积分

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x型/y型代表视计算复杂度情况先对x/y求导

具体用 x/y 型看平行线交点是否为 2 个, 例如 y 型, 先计算 x 范围, 然后做作 y=k, 垂直于 x 轴的线, 计算 dy 的上下限

例题1, 2 - x/y型两种解法:

例题3 - 区间可加性-分区间积分

例题4 -根据可积(易计算)性调整积分顺序:

复习旋转体体积公式:

推广到任意旋转轴:

例题5 - 旋转体体积

ref

极坐标计算二重积分

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对于 $\int\int{e^{x^2+y^2}}$ 这种积分, 无论先对 x/y 积分，都无法轻易积分(或没有合适的x/y定线), 因此考虑极坐标系

ρ 表示某点到原点的距离

推导过程:

例题1 ($\frac{15\pi}{8}$):

例题2:

根据例2扩展推导概率论中重要反常积分 $\int_0^{\infin}e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$:

例题3 - 偏离的圆计算 ρ 上限:

内容小结:

习题P156: 1(2,4), 2(3,4), 5, 6(2,4), 11(2,4), 13(3,4), 14(2,3), 15(1,4)

二重积分的估值不等式

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S是区域 D 的面积, 如果在 D 是有最大值 M, 则该二重积分 <= M*S

二重积分的换元法

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待补充

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三重积分

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利用直角坐标计算三重积分

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先一后二(先对z做定积分, 后对xy做重积分)

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基础例题1(1/720):

基础例题2($\frac{7\pi}{12}$):

先二后一(先对xy做重积分，再对z做定积分)

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备注：

1. 椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的体积 $S = \pi ab$
2. 可利用二重积分估值不等式求重积分上限

利用柱坐标(极坐标+z轴)计算三重积分

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公式推导:

例题1:

例题2(ρ的上限为 $\sqrt{3}$, 答案为 $\frac{13\pi}{4}$):

利用球坐标

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核心问题:

1. xyz 用球坐标表示出
   

   

2. 求体积微元
   

   

例题: