高等数学-Ch9-曲线、曲面积分

向量代数与空间解析几何

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模 = $\sqrt{x^2 + y^2}$
点乘 = 模相乘 * 夹角的余弦
向量单位化: 除以模长

空间曲线的切线和法平面

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平面曲线切线: 曲线上 AB 两点极限重合时, 两点割线(连线)即为切线

法线: 在切点垂直于切线的线

空间曲线的切线, 法向量和法平面公式:

切线&法平面例题1-常规公式套用:

切线&法平面例题2-非参数方程转换思想:

空间曲面的切平面和法向量(法线)

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切平面: 所有切线组成的平面(实际两条切线即可确定平面)

法线: 过切点与切平面垂直的向量(直线)

公式推导:

$z = f(x, y)$ 型转换方法(注意方向, 上取负, 下取正):

例题1-常规公式套用:

例题2-z显函数型

切平面23真题:

空间曲面面积

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ref
空间曲面面积的推导:

例题:

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曲线、曲面积分

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曲线积分

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第一型曲线积分-对弧长的曲线积分

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前置知识-弧长公式:

一型曲线积分即为弧长公式的一般形式, 案例与定义:

上例中, 弧长公式代表密度 f 为常数1的特例情况

注意需要从小往大积分

例题1-常规公式套用:

例题2- 空间参数方程求一型曲线积分

第二型曲线积分-对坐标的曲线积分

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与对弧长线积分的本质区别:

1. 对弧长的线积分是函数值*小弧段的长度, 小弧段的长度始终是正的与方向无关
2. 对坐标的线积分是函数值*有向弧段在坐标轴上的投影, 投影与曲线方向有关

第二型曲线积分的物理意义(不均匀场做功):

基础概念、性质与计算方法:

例题:

线积分与路径无关例题, 后续专题研究:

内容小结:

作业P203: 3(2,4,6,7), 4, 5, 7, 8

曲面积分

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第一型曲面积分-对面积的曲面积分

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类比第一型曲线积分, 前者求线的质量，此处求面的质量

例题1-常规套公式(利用了二重积分奇偶相消，可以引申一类曲线积分的奇偶性)

第二型曲面积分-对坐标的曲面积分(通量积分)

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双侧曲面 有正反面(连接成莫比乌斯环后就变成了单侧曲面)

通量: $\phi$ 类似物理中流量的定义, 表示流向曲面一侧的流量

匀强场中, 单位时间通量计算:

非匀强场中, 推广出第二型曲面积分形式:

计算方法:

例题1(1)-奇偶相消得0:

例题1(2):

两类曲面积分之间的联系

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$\displaystyle \iint_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint_\Sigma(Pcos\alpha + Qcos\beta + Rcos\gamma)dS$

其中:

1. $dydz = cos\alpha \cdot dS = \frac{cos\alpha}{cos\gamma}dxdy$
2. $dxdz = cos\beta \cdot dS = \frac{cos\beta}{cos\gamma}dxdy$
3. $dxdy = cos\gamma \cdot dS$
4. $cos\alpha, cos\beta, cos\gamma$ 即为曲面在点(x, y, z) 处法向量的方向余弦

步骤:

1. 求法向量, 注意方向:
   1. 方向为正, 即$f_z=1$, 即令 $f(x,y,z) = z - z(x, y)$
   2. 方向为反, 即$f_z=-1$, 即令 $f(x,y,z) = z(x, y) - z$

例题

转换投影法

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Todo: $\displaystyle \iint_\Sigma Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint_D (-Pz_x - Qz_y + R)dxdy$

其中 D 为投影面积

格林公式

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牛顿莱布尼兹公式在二重积分上的体现:

区域边界曲线正向(+C): 沿着某个方向走, 区域始终在你的左侧(如果有多个边界则需要各自讨论)

单连通区域: 无洞区域(对应的多联通有洞)

公式证明(后续y型区域和多联通区域证明可以通过划分区域推导):

注意: 格林公式要求P,Q在区域内有连续的偏导数

例题1-补线思想(也可用对称性):

例题2-计算平面区域面积的一种新方法: 利用平面域边界的线积分

例题3-可连续偏导区域的校验与构造, 注意顺时针(2020年有真题):

平面上曲线积分与路径无关的条件

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路径无关 <=> 闭路积分为 0 线积分与路径无关的充要条件:

二元函数的全微分求积

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定理证明:

路径无关与被积式为某函数全微分表达式推论:

例题1-线积分求全微分原函数:

例题1-偏积分求全微分原函数:
偏积分是对偏导数积分求原函数, 由于将其他变量视为常数, 还需要加上一个 f(y)， f(y) 可根据另一个偏导待定系数法计算

例题1-凑全微分求全微分原函数, 注意好凑和不好凑的部分分组:

求曲线积分常用思路: 线积分直接算, 格林补线, 路径无关, 全积分原函数两端求差

求积分例题2(1)-路径无关换线/:

求积分例题2(2)-路径无关椭圆换圆 + 补线:

求积分例题3-路径无关与可化全微分互为充要, 此时不需要单连通条件

内容小结

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习题P216: 2(1), 3, 4, 6(1)(3), 7(2)(4), 8(1)(3), 9, 10(1)

高斯公式-二型面积分和三重积分的关系

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牛顿莱布尼兹公式在三重积分上的体现:

物理意义: 单位时间内气体(能量不均匀)辐射的热量 = 单位时间外壳接受的热量, 而散度就是度量每点"源"的强度的量

例题1-基础套公式:

例题2-非闭合曲面-补面

例题3-无定义点不满连续偏导数要求-挖洞(注意方向)

2023 真题:

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斯托克斯公式

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斯托克斯公式
牛顿莱布尼兹公式在曲面积分上的体现:
格林公式即斯托克斯公式在平面上的体现(斯托克斯为其推广)

公式描述:

计算过程:

1. 右手定则计算法向量 $\vec{n} = (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, 即方向余弦
2. 二型曲线积分转换为二型曲面积分
3. 二型曲面用转换投影法转换为二重积分来计算

例题:

2001 年真题

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散度, 梯度与旋度

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哈密顿算子 $\nabla$

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形式上为向量, 单独无意义, 主要作为算子辅助其他运算:
$\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$

梯度

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处理标量函数:

$grad = \nabla \cdot f = (f_x, f_y, f_z)$

散度

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处理矢量函数:

$\vec{F} = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))$

$div = \nabla \cdot \vec{F} = P_x + Q_y + R_z$

旋度

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物理意义: 描述向量场在某点使其旋转的能力:

处理矢量函数:

$\vec{F} = (x, y, z)$

旋度记为 rot 或 curl 均可((i,j,k)为单位法向量):
$$ rot = \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \newline \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \newline P & Q & R \newline \end{vmatrix} $$

拉普拉斯算子 $\Delta$

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用于计算梯度的散度:
$ \begin{aligned} \Delta f &= \nabla^2f = \nabla \cdot (\nabla f) \newline &=(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (f_x, f_y, f_z) \newline &= f_{xx} + f_{yy} + f_{zz} \newline \end{aligned} $

也用于薛定谔方程

待整理

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二维空间对坐标积分方法:

1. 定积分
2. 格林公式
   1. 多联通区域使用格林公式, 外逆时针, 内顺时针
3. 曲线积分的路径(如果路径无关)
4. 转换为第一类曲线积分
   1. 曲线积分, 曲面积分优势 - 可以替换

三维空间对坐标的曲线积分:

1. 定积分
2. 斯托克斯公式

对于第二类曲面积分，一般的解答方法是将它先化为第一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算

第一类曲面积分投影到 xoy 平面, 进而化为二重积分计算例子: $dS = \sqrt{Z_x^2 + z_y^2 + 1}dxdy$

平面 y + z = 0 的法向量 (0, 1, 1)